函数模型拟合初探

泉州一中    吴怀山

本文系福建省“十三五”第一批中学数学学科教学带头人培养对象课题成果

课题编号：DTRSX2017022

高中新课程改革提出要关注学生发展，激发学生学习热情，体现学生主体，鼓励学生探究，高效实现目标，提高和发展学生自主学习的能力，中学生在学习过程逐步和大学一样利用课余时间到图书馆看书学习，查阅资料成为校园生活一种方式，一种学习手段.然而中学的图书馆各种资源有限，很多学生经常借书需要排长长的队，有时看书却找不到合适的位置，为解决学生如何避开高峰期，不浪费太多的排队等候时间，本人考虑能否利用数学建模解决此类问题.

2017版高中数学新课标中指出，数学建模是数学的核心素养之一，数学建模是对现实问题进行进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数，计算求解，检验结果，改进模型，最终解决实际问题.

根据建立回归模型基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；（3）由经验确定回归方程的类型（可分为线性和非线性）；（4）按照一定规则（如最小二乘法）估计回归方程的参数；（5）对所得模型进行拟合程度分析及预报预测.决定在所任教班级学生中开展数学建模案例分析，并向学生提出以上问题，和学生一起探讨研究方式，研究过程，然后对课题组成员进行分工，现将模型形成过程总结如下.

一、数据采集

中午时间是图书馆人流量高峰期，第一次采集数据从11:40下课，每隔10分统计一次进出图书馆人数，利用excel统计出图书馆内的人数，如下表格.

时间x	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140
人数y	18	44	88	130	180	255	340	339	300	189	141	101	55	25

 

二、画散点图：

把时间确定为解释变量，人数为预报变量,利用excel制作散点图（或折线图），选中数据插入散点图如下：

 

 

 

三、完善数据和散点图

通过以上散点图，发现规律不清晰，变化趋势不明显，于是课题小组成员决定每间隔5分钟统计一次出入图书馆人数，改变收集数据方法后，

时间	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75
人数	10	18	30	44	60	88	100	130	155	180	220	255	299	340	350
时间	80	85	90	95	100	105	110	115	120	125	130	135	140	145
人数	339	330	300	230	189	160	141	121	101	90	55	38	25	10

 

 

 

四、建立函数模型及拟合效果检测：

(1)初步拟合：从散点图变化趋势看比较符合正态分布密度曲线.利用excel功能函数STDEV，求标准差得到，再利用均值函数AVERAGE求得，得到密度函数，然而该函数很难转化为线性函数，而且它的拟合程度也难以说明，于是考虑将它分段

（2)模型的线性化：设时间为解释变量x，当时，观察散点图与指数函数较为吻合，当时，选择，其中是待定预测参数，通过对数变换转化为线性关系，令则变换后样本点分布在直线的两侧，从把非线性的转化为线性的，用excel添加趋势线，并设置为线性，得到线性回归方程z=0.0556x+2.494,相关指数值为，所以拟合函数为，同理当时，y=-481.7lnx+2405.6,,

当时

对应值表

时间x	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
人数y	10	18	30	44	60	88	100	130	155	180	220	255
新变量z	2.30	2.89	3.40	3.78	4.09	4.48	4.61	4.87	5.04	5.19	5.39	5.54

 

散点图

 

 

 

当时

对应值表

人数y	199	160	141	121	99	70	52	38	21	10	8
时间x	100	105	110	115	120	125	130	135	140	145	150
新变量z	5.29	5.08	4.95	4.80	4.60	4.25	3.95	3.64	3.04	2.30	2.08

 

 

 

 

 

 

当时，利用excel插入散点图，设置添加趋势线，趋势线选项选择多项式，并选择显示

时间x	65	70	75	80	85	90	95
人数y	299	340	350	339	330	300	230

 

 

 

 

 

 

 

易得二次函数和相关指数

根据相关指数高达0.9891可以确定散点图与二次函数图像抛物线较为吻合，具体拟合程度非常好.

 

 

根据分段函数的三个相关指数都是0.94以上，说明拟合效果很好，可以进行较好的预报.

 

五、模型的应用：

根据以上函数模型及其拟合效果指数，可以预测不同时间段图书馆内人数，据统计数据知道图书馆总的位置有300个，所以令，利用execl根据求根公式得到方程两根为65和93，从而预计中午11:40下课到12:45之间图书馆内人数少于300人，而12:45到13:13人数多于300人，13:13以后到下午上课前（2:30）人数又少于300人，为了更好学习，不浪费排队时间建议避开这个高峰期.

数学建模其实来源于生活，又应该于生活，服务于生活，学生通过数学建模，有利于培养学生应用数学的意识、主体意识和创新意识，它也是具体落实新课改“四能” 发现问题能力、提出问题能力、分析问题能力、解决问题能力的实践过程.